В XVI веке Тверская — от слова «твердь» — укрепление, крепкое место; в XVII–XVIII веке Алексеевская — по расположенной неподалёку церкви, построенной в 1642 году; в XIX веке — Цейхгаузная. Своё нынешнее название башня получила от слова «кладь»: использовалась как складское место.

Круглая, 4 боевых яруса. Нижний в настоящее время находится под землей, 2-й и 3-й ярусы оборудованы боковыми боевыми камерами. В башне нет бойниц среднего боя, так как перед ней нет мёртвого пространства — она расположена между двумя более крупными квадратными башнями.

В 1621 году — 1 медная пищаль и использовалась для хранения вооружения. В 1703 году в ней хранилось 64 затинных пищали, 54 пуда ядер, пушечные припасы и снасти «городового дела» — инструменты каменщиков.

В 1785–1786 годах башня была переоборудована: на месте некоторых амбразур в ней были прорублены окна и заложены проёмы между зубцами.

В начале 40-х годов XX века средний ярус использовался военным ведомством под склад. Подвал и верх пустовали. В послевоенное время в башне находилось бензохранилище.

В 1953–1956 годах башне был возвращен исторический облик, восстановлена полукруглая пристройка — сооружение XIX века, построенное для вентиляции нижнего яруса башни. После реставрации в 1973 году в башне было организовано кафе.